八、天元术的硕果

清代数学家罗士琳 （1774—1853）在他的《畴人传·续编·朱世杰条》 中评论朱世杰的数学成就时说：

“汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。~优′品¨晓?税_惘` \已^发\布¨嶵?欣~漳\截`道 古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量， 神而明之，尤超越乎秦李之上”。

清代另一位数学家王鉴在他的《算学启蒙述义·自序》中也说：“朱松 庭先生兼秦李之所长，成一家之著作”。

由上述二人的这两条评论来看，朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学 发展的总结性人物，是宋元数学的代表，是中国以筹算为主要计算工具的古 代数学发展的顶峰。

《四元玉鉴》可以说是朱世杰阐述自己多年研究成果的一部力著，全书 共分3卷，24门，288问。书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关， 其中：

四元的问题（需设立四个未知数者）有7问（“四象朝元”6问，“假 令四草”1问）；

三元的　13问（“三才变通”11问，“或问歌彖”和“假令四草”各1 问）；

二元的36问（“两仪合辙”12问，“左右逢元”21问，“或问歌彖”2 问，“假令四草”1问）”。~艘?艘!晓?说`惘, /追?醉`辛?章′結-

一元的232问（其余各问都是一元）。

可见，四元术——多元高次方程组的解法是《四元玉鉴》的主要内容， 也是全书的主要成就。

《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题。 在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题。

《四元玉鉴》一书的流传曾几经波折。这部1303年初版的著作，在15 和16两个世纪都还可以找到它流传的线索。

第一：吴敬所著《九章算法比类大全》（1405年）中的一些算题，和《四 元玉鉴》中的完全相同或部分相同。

第二：顾应祥在他所著的《孤矢算术》序言（1552年）中写道。“孤矢 一术，古今算法载者绝少……《四元玉鉴》所载数条”。

第三：周述学所著《神道大编历宗算会》卷三之首曾引用了《四元玉鉴》 书首的各种图式，书中有些算题也与《四元玉鉴》相同，卷十四作为“算会 圣贤”列有“松庭《四元玉鉴》”。?墈,书.君· !耕*新/醉-哙\可见顾应祥、周述学二人都曾读到过《四 元玉鉴》。

第四：清初黄虞稷（1618—1683）《干顷堂书目》记有“《四元玉鉴》 二卷”卷数不符。

第五：梅瑴成（1681—1763）《赤水遗珍》（1761年）中曾引用过《四 元玉鉴》中的两个题目，可见清初时此书尚未失传。

公元1772年开《四库全书》馆时，虽然挖掘出不少古代数学典籍，但朱 世杰的著作并未被收入。阮元、李锐（1769—1817）等人编纂《畴人传》时

（1799年）也尚未发现《四元玉鉴》。但不久之后阮元即在浙江访得此书， 呈入《四库全书》，并把抄本交李锐校对（未校完），后由何元锡按此抄本 刻印。这是1303年《四元玉鉴》初版以来的第1个重刻本。

《四元玉鉴》被重新“发现”以后，引起了当时许多学者的注意，如李 锐、沈钦裴 （1829年写有《四元玉鉴》序）、徐有壬（1800—1860）、罗士 琳、戴煦 （1805—1860）等人，都进行过研究。其中以沈钦裴和罗士琳二人 的工作最为突出。

1839年罗士琳经多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鉴细草》一书， 影响广泛。罗士琳对《四元玉鉴》进行了校改并对书中每一问题作了细草。 与罗士琳同时，沈钦裴也对《四元玉鉴》作了精心研究，每题也做了细草。

清代数学家李善兰 （ 1811—1882）曾著有《四元解》（1845年）。其 后陈棠著《四元消法简易草》（1899年），卷末附有“假令四草”的“补正 草”。

日本数学史家三上义夫在其所著的《中国及日本数学之发展》一书中将

《四元玉鉴》介绍至国外。其后康南兹和赫师慎分别把《四元玉鉴》中的“假 令四草”译为英法两种文字。

1977年华裔新西兰人谢元祚将《四元玉鉴》全文译成法