1864年7月 19日，曾国藩攻陷太平天国首都天京（今南京），李善兰 等也跟着到了南京。\2′8/墈¨书/网* ,追+嶵′薪+彰^截`他再次向曾国藩提出刻印他所译所著的数学书籍，得到 曾国藩的支持和资助，于是有金陵刊本《几何原本》 15卷和1867年金陵刊 本 《则古昔斋算学》24卷问世。

1867年刊行的《则古昔斋算学》收录李善兰20多年来的各种天算著作， 计有：

《方圆阐幽》1卷（1845）

《弧矢启秘》2卷（1845）

《对数探源》2卷（1845）

《垛积比类》4卷

《四元解》4卷（1845）

《麟德术解》 3卷（1848）

《椭圆正术解》2卷

《椭圆新术》1卷

《椭圆拾遗》3卷

《火器真诀》1卷（1858年）

《对数尖锥变法释》1卷

《级数回求》1卷

《天算式问》1卷。

其中，《垛积比类》一书，是李善兰的另一杰出数学成就——垛积术。+x\d·w¨x.t^x,t¨.`c?o-m,

在中国数学史上，北宋沈括 （1031—1095）首创隙积术开垛积研究之先 河。

隙积术是一种求解垛积问题的方法，属于高阶等差级数求和的问题。沈 括具体涉及到的有累棋、层坛和积罂等问题，他得出了正确的求解公式：

垛积体数目式体积

h　　　　　　　　　　　　　　　　 h

V隙 = b [ （2b＋d） a＋ （2d＋b ）c] + b　　（c - a） 其中a和c分别为垛积体上、下宽度，b和d分别为垛积体上、下长度，h 为垛积体的高度。

元朱世杰《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）中的垛积问题， 分“落一”、“岚峰”两大类，其垛积公式分别为

n　r

n　 r

n　　　 m这是他的第三项重要数学成就，是中国素数论上最早的一篇论文。所谓数根， 就是素数。考数根法，就是判断一个自然数是否为素数的方法。

李善兰说：

“任取一数，欲辨是数根否，古无法焉，”他“精思既久，待考之法四”， 即：

第一：屡乘求一法，

第二：天元求一法，

第三：小数回环法，

第四：准根分级法，

d

用以对已给的数N，找出最小的指数d，使a-1能被N整除，这里a是 与N互素的任何自然数。′d,a~w+e/n￠x?u/e¨b/o`o!k-._c·o′m*

李善兰证明了著名的费马素数定理（1640），并且指出它的逆定理不真。

d 亦即，若a-1能被 N整除，而 N是素数，则N-1能被d整除；但d能除尽 N-1，未必N一定是素数。

李善兰还进一步指出，若N非素数而d也能整除N-1，则N的因整必具 K＋1的形式，内p为能除尽d的数，k为自然数。只有任何具有k+1形式

p　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　p 的数都又能除尽N时，N才肯定是素数。

八、其它数学著作

李善兰在他所著的《椭圆正术解》中解释了徐有壬《椭圆正术》中行星 椭圆轨道运行问题的比例算法和对数算法。

李善兰还在《椭圆新术》中首次在我国用无穷级数法求解开普勒方程。

李善兰的《火器真诀》则提出别具一格的图解法，以量代算，是我国第 一部精密科学意义上的弹道学著作。

∞

《级数回求》是通过几个特殊的幂级数y =

（1727—1804）研究中国古代历法的《三统术衍》和介绍哥白尼学说的《地 球图说》等。

阮元主编，李锐、周治平参与编纂的《畴人传》，是一部著名的述评天 文、数学家活动的传记集。全书46卷，269篇，列叙中国上起三皇五帝时代， 下迄嘉庆初年去世的天文历法家、数学家275人，西洋天文学家、数学家和 来华传教士41人。传记一般是在姓名、字号，籍贯、科举出身和主要官职之 后以主要篇幅介