“尖锥之算法”乃是

“以高乘底为实，本乘方数加1为法，除之得尖锥积”。+零?点~看′书? ,哽*歆_蕞¨筷+

又，“二乘以上尖锥所迭之面皆可变为线”，

“诸尖锥既为平面，则可变为一尖锥”。

n

这样，对于一切自然数n，乘方数X都可用线段长表示，它们可以积迭 成n乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线，高线和凹向的尖锥曲线组成。 乘数愈多（即幂次愈高），尖锥曲线其凹愈甚（图2）。

2 -8 2　　　　　　　-8

在《方圆阐幽》中，李善兰取X=10及X=2×10，用“分离元数法” 归纳得二项平方根展开式

2　　　　∞ (2n 其中正切、正割、正反切、正反割的幂级数展开式是在中国首次独立得到的。

在《对数探源》中，李善兰列出了十道命题，从各个方面描述对数合尖 锥曲线的性质。例如命题九“凡两残积，此残积之高与彼残积之高，彼截线 与此截线可相为比例。”（图5）

即是说xy=xy，或xy=c（这里c=bh为常量）。-第\一?看?书¨网* +追?蕞*芯￠璋￠劫~然后，根据这些性质

1122 得出了对数的幂级数展开式

∞

1

lgn 誉。英国传教士伟烈亚力 （1815—1887）说：

“李善兰的对数论，使用了具有独创性的一连串方法，这到了如同圣文 森特的格雷戈里 （1638—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果。”

“倘若李善兰生于纳皮尔（1550—1917）、布里格斯（1556—1631）之 时，则只此一端即可闻名于世。”

顾观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法高明、简捷，认 为这是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰说：“中土 李 （善兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，并大声疾呼“以告中土 之受欺而不悟者”。

四、著书与交往

1845年，李善兰还撰著了《四元解》 2卷。

《四元解》是解释元朱世杰《四元玉鉴》中的高次方程自消之解法。

朱世杰字汉卿，号松庭。¨狐/恋!蚊￠穴¨ ·耕_歆`最~哙~北京附近人。他的《四元玉鉴》成书于1303 年，全书分3卷，24门，共288个问题，最主要的问题是四元术。

四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的。

四元术是多元高次方程列方程亦解方程的方法，未知数最多时可至4 个。

四元术开头处总要有

“立天元一为××，地元一为○○，人元一为△△，物元一为**”，即 相当于现代的

“设x，y，z，u为××，○○，△△，**。”

天元术是用一个竖列的筹式依次表示未知数（x）的各次幂的系数的，而 四元术则是天元术的推广。

朱世杰的四元术消去法，即将多元高次方程组依次消元，最后只余下一 个未知数，从而解决了整个方程组的求解问题。譬如：二元二行式的消法， 其步骤可简述如下：

例如“假合四草”中“三才运元”一问，最后得出如下图的两个二元二 行式，这相当于求解

相消。”也就是

F（z）=AB-AB=0。

01 10 此时F（z）只含z，不含其他未知数。解之，即可得出z之值，代入上式任 何一式中，再解一次只含x的方程即可求出x。

李善兰的《四元解》，则是以自己的见解解四元方程组，对了解朱世杰 原意帮助不大。

1848年，李善兰撰著《麟德术解》，解释唐李淳风（602—670）“麟德 历”中的二次差内插法。

李淳风，岐州雍县 （今陕西风翔）人。撰麟德历，于公元665年行用。

麟德历引进了刘焯 （544—610）的二次差内插法推算太阳和月亮的不均 匀运动。

刘焯的二次差内插法全称是等间距二次差内插法，它的算式可以概括为

t　 ( △ 广泛的交往。

五、翻译西方科学著作

1852年夏，李善兰到上海墨海书馆，将自己的数学著作给来华的外国传 教士展阅，受到伟烈亚