砚坚为李冶的 《益古演段》作了《序》，他在《序》中称赞这本书说：

“说之详，非若溟涬黯淡之不可晓；析之明，非若浅近粗俗之无足观”。!l~a\n^l^a*n`x^s...c!o+m~

这些特点，使 《益古演段》成为一本受人们欢迎的数学教材，对天元术 的传播起了不小的作用。

李冶的《益古演段》在数学理论上也有创新。该书的问题同《测圆海镜》 有所不同，所求的量不是一个而是两个、三个甚至四个。按照古代的方程理 论“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。”应该用方程组来解，所含 方程的个数与所求的个数是一致的。但是解二次方程组显然要比解一元方程 困难得多。

李冶既然已经完善了天元术的程序，便力图提高他的一般化程度，用以 解决各种多元问题。他的主要方法是利用出入相补的原理 （按照吴文俊的解 释，出入相补原理就是：“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若 把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形 移置前后诸面积的和差有简单的相等关系”。¨齐^盛^暁`税·王* _追*嶵.辛*章^踕/）及等量关系来减少未知数， 化多元为一元，找到关键的天元一。一旦这个天元一求出来，其他要求的量 就可根据与天元一的关系，很容易求出了。

例如第三十五问：

“今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地5760步。只云从外田东南 楞至内池西北角，通斜113步，其内池阔不及长34步。问三事（指池长、池 阔及圆径）各多少？”

这道题要求池长、池阔及圆径这三个数，如果用方程组去解，需要列出 三个方程，一个可能的列法是：

设圆径为x，直池长为Y，阔为Z，则

3　　　　　　　　　　　　　　3

设 y＝22.5x，则上式变为

2

-y－ 648y＋ 517545= 0

开方，得

y= 465

所以

2

x

六、“世道相违，则君子隐而不仕”

蒙古大军攻南宋四川不下，就派兵绕道先攻下云南，在云南设置了郡县。¨吴`4!看?书! .耕~鑫·嶵¨全^ 又从云南进攻安南 （今越南），安南王陈日煚败走海上，请降。

公元1258年2月，蒙古大举侵宋。蒙哥汗自率一军入蜀，而命忽必烈攻 鄂州（今湖北武昌），兀良合台的云南之师自交广北上攻潭州（今湖南长沙）， 三路并举。四川一路，南宋军望风败降，只合州守将王坚坚守不降，并杀死 了蒙哥汗派去的招降使者。同时，蒙古军还攻破了南宋的海州（今江苏连云 港市西南海州镇）、涟水。另外，蒙古旭烈兀西征，平十余国，留在了西方， 建立了伊尔汗国。

公元1259年2月，蒙古大军包围了合州。合州军民英勇抗击蒙古大军。

7月，蒙哥汗为流矢所中，死于合州城下，合州之围遂解。

8月，忽必烈督师至鄂州。

9月，忽必烈渡过长江，包围了鄂州城。另派军攻入了临江（今江西清 江县西临江镇）、瑞州 （今江西高安县）。

11月，蒙古云南军攻入宋广西，长驱至潭州。这时，宋帅贾似道奉命请 和于蒙古，请求划江为界。

忽必烈这时已经得知了蒙哥汗的死讯，急于北归争夺汗位，遂答应了贾 似道的请求。

公元1260年3月，忽必烈在开平称大汗。

4月，蒙哥汗的弟弟阿里不哥在和林称大汗。

7月，忽必烈讨伐阿里不哥，蒙古内战爆发。

公元1261年7月，忽必烈在开平建翰林国史院，聘请李冶担任清高而显 要的工作——翰林学士知制诰同修国史。

这时，忽必烈正在逐步实行经济、政治改革。

经济方面：忽必烈改变了过去把农田变作牧场和掠夺人口为驱口的作 法，转而保护封建土地所有制，发展农业生产。他下令把许多牧场重新还作 农田，用租佃的方式招募农民耕种；有些则退给了农民。还下令禁止掠人为 奴，并把一些掠夺来的驱口释放为良民，从而增加了农业生产力。他还设立 了司农司、营田司等机构，专门负责农业生产和兴修水利。这样，经过与汉 族地区先进农业经济的长期接触，蒙古统治者终于放