第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个整 式的方法化分式方程为整式方程。~咸·鱼^墈*书?蛧~ ·嶵_欣^漳^踕,埂`新?快,

第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子

n x（n为正整数）时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次

n 数。这一作法相当于用x去除方程各项。

李冶在《测圆海镜》中，采用了从0至9的完整数码。除0以外的9个 数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇0空位，没有符号0。李冶《测 圆海镜》与秦九韶《数书九章》是最早使用0的两本算书。

秦九韶（1202—1261），字道古，普州安岳（今四川安岳）人。公元1247 年9月，完成数学名著《数书九章》。

李冶的《测圆海镜》比秦九韶的《数书九章》成书的时间相差不过一年。

李冶还发明了负号和一套相当简明的小数记法。

李冶的负号与现在不同。是画在数字上的一条斜线，通常画在最后一位 有效数字上，如-175记作　　　　　，-360记作

在国外，德国人于15世纪才首先引入负号。+q′s￠b^x\s?.?c,o\m¨

在李冶之前，小数记法离不开数名，如7.59875尺记作七尺五寸九分八 厘七毫五丝。

李冶则取消数名，完全用数码表示小数，纯小数于个处写0，带小数于 个位数下写步，如 0.25记作○＝|||||， 5.76记作　　　　　　　 这种记法在当 时算是最先进的。

西方在16世纪，小数记法还很笨拙。例如比利时数学家S·斯蒂文在1585 年发表的著作中，把每位小数都写上位数，加上圆圈，如 27.847写作 278 ①4②7③，这种记法显然不如李冶的记法简便。直到17世纪，英国数学家J·纳 普尔 （1550—1617）发明小数点后，小数才有了更好的记法。

李冶由于掌握了一套完整的数字符号及性质符号，他的方程已能用符号 表示，从而改变了用文字描述方程的旧面貌。但这时仍缺少运算符号，尤其 是缺少等号。这样的代数，可称为“半符号代数”，它是近代符号代数的前 身。/叁·叶_屋¨ ,罪,辛`璋.结*庚*欣!哙`大约300年后，类似的半符号代数也在欧洲产生了。

《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作，而且在体例上也 有创新。全书本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义、定理、公 式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术的方法推导出来。李冶以 前的算术，一般采取问题集的形式，各章 （卷）内容大体上平列。李冶以演 绎法著书，这是中国数学史上的一个进步。

四、会见忽必烈

李冶《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，对后世具有深远的影响。

元代的王恂（1235—1281）、郭守敬（1231—1316），在编《授时历》 的过程中，曾用天元术求周天弧度。不久，沙克什用天元术解决水利工程中 的问题，收到了良好效果。

元代数学家朱世杰（公元13—14世纪）说：

“以天元演之，明源活法，省功数倍。”

清代阮元 （1764—1849）说：

“立天元者，自古算家之秘术；而海镜者，中土数学之宝书也。”

李冶写成《测圆海镜》以后，到太原住了一个时期，藩府官员曾请他出 仕，但他谢绝了。后来，他又流落到平定。平定侯聂珪很尊重他，把他接到 自己的帅府来住。他却“私心眷眷于旧游之地”，怀念着少年求学时的元氏。

公元1251年，李冶的经济情况已经好转，他终于结束了在山西的避难生 活，回元氏定居。他在封龙山下买了一点田产，以维持生活，并开始收徒讲 学，从事数学教育活动。

李冶的学生越来越多，家里逐渐容纳不下了，于是师生共同努力，在北 宋李昉 （925—996）读书堂故基上建起了封龙书院。

李冶在书院不仅讲数学，也讲文学和其他知识。他呕心沥血，培养出大 批人才，并常在工作之余与好友元好问、张德辉 （山西交城人）一起游封龙 山，被人们称“龙山三老”。

在蒙古军队攻金过程中，中原地区的社会经济遭到严重破坏。由于