莱布尼茨在研究几何学的过程中，借鉴前人的经验完成了数学革命。_j_i*n*g+w`u￠b.o?o.k!._c`o_m*在 莱布尼茨之前，意大利数学家卡瓦列利于1635年发表了《不可分连续量的几 何学》一书，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分， 而法国数学家费尔马在求函数极大极小值时，其结果已接近了微积分。莱布 尼茨从几何学的求积问题和求切线问题出发，发明了微积分，于 1684年发表 了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。1686年，他又发 表了关于积分法的著作。

微分学提供了一个决定某一量在任一瞬间变化比率的一般方法。这个量 是在和另一个量的相互关系中连续变化的，因此它是另一个量的函数，值得 一提的是，莱布尼茨是第一个在现代意义上使用变量的函数这个词的。微分 学可以用于计算行星运行的轨道；描绘摆、波浪或颤动着的弦的运动；求出 用别的方法解不了的方程；确定函数的最大和最小值，等等。

积分是微分的逆转，它在于从给定的某一瞬间的值出发重建出一个整体 来。¨兰*兰~雯`学? ,追+醉^辛?章\劫,换句话说，就是增加一个维数。从一个点的变化比率出发，可以重建一 条完整的线，从一条线的变化比率出发，可以重建一个它所限定的面，而且 从一个面出发，就能指定出由旋转这个面所创造出来的体。这种方法实际上 用来确定重心，以及诸如飞轮那样的旋转物体的惯性运动，当然也有别的更 为复杂的用途。

莱布尼茨比较完整地建立了微积分的法则和公式体系，他又煞费苦心创 造出了一套方便的微积分符号，如微分符号d和积分符号∫，这些符号至今 仍在使用。

欧几里德几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学， 微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。作为高等数学的主要分支， 它不只是局限在解决力学中的变速运动问题，它在近代和现代科学技术园地 里建立了数不清的丰功伟绩。

但微积分刚刚诞生就面临着内部的争论和外部的围攻。

莱布尼茨首先是为无穷小量的逻辑尊严而苦恼。当时的数学家们一般都 认为，数学的对象应该是实在的（这仅是从几何学上加以描绘的一般意义上 看），他们对于那种不能拿直尺和圆规画出的“假想”的量深表怀疑，例如

怀疑莱布尼茨的发现实际上是独立得到的并不合情理。_E?Z_小~税+徃\ ￠醉!芯*璋_结\耕¨薪￠哙?但是为争论所激 起的民族主义热情以及有利于牛顿优先权的证据给英国的数学带来了不幸的 后果。英国人继续以牛顿《原理》中的几何方法为依据，结果使自己落在了 后面，使自己在一片死气沉沉中停滞了一个多世纪。这使欧洲大陆也受到一 定影响，由于双方停止交流思想，使他们对于牛顿的许多工作未能深入的研 究。

数学史上这个著名的事实，再一次警示人们，无谓的争论，片面强调所 谓的纯洁，结果只能空耗精力，影响事业本身的进程，对此，我们要引以为 训。

莱布尼茨在巴黎时期的第二个伟大的功绩，而且是最富潜力的发现，就 是二进制算法，虽然实际上他并不是发现这种算法的第一个人。早在17世纪 初，托马斯·哈里奥特就已经想到了它，1670年卡瓦利埃里又再次提到它。 莱布尼茨自己后来确信，中国人肯定也知道它，因为在《易经》的理论中已 经包含它了。

二进位制系统是最简便的可能的数字记数法。我们通常用的十进位制系 统中每个位数 （个位、十位、百位等等）都有十个符号可供选择，在二进位 制系统中就只有两个符号，一个表示空位，另一个则标志实位。如果位能够 任意规定，被栅极所规定的话，那么它所要求的一切也就是一个表示实位的 任意标记或符号。如果约定用0表示空位，用1表示实位，那么这个系统就 会像下面这样进行运算：

0 1　2　3 4　5　6　7　8　　　　　　　　9

0 1 1011100101110111100010001

虽然莱布尼茨为他自己的发现感到自豪，但是他却完全没有运用它。不 像卡瓦利埃里及现代的数学家们那样，他没有把这一发现一般化为具有它自 己专门定理的模数算术的理论。除了一个非常模糊的草稿之外，他没有试着 去设计一种运用此项发现的计算机。我们可能感到十分奇怪，在计算机的时