今天，非欧几何已经被人们承认并接受。*兰,兰·闻·血! ?追,蕞,薪?蟑,洁_高斯、雅诺斯、罗巴切夫斯基 三人并称为非欧几何的发明者。在这里，高斯不仅是最先发明者，而且还为 后辈数学家的发明提供了必要的条件，高斯的这种大公无私的精神受到后世 人的称赞。这段历史也成为了数学史上的一段佳话。

如果说非欧几何是他纯粹数学思维的结晶，那么微分几何则是高斯将数 学应用于实际的产物。

18世纪后期，微分几何从克莱罗开始，经欧拉、蒙日深入研究而发展起 来。当时研究的重点限于曲线点上的性质，尚未进行对曲面性质的深入研究， 也未建立起曲面微分几何的理论。高斯从大地测量和地图绘制的实践中，引 出了许多关于曲面的问题，特别是地图绘制，它涉及到如何最精确地在平面 上画出地球表面各部分的形态，由于尺度比例必须受到地球表面弯曲程度的 影响而有所改变，因此在当时要完全正确地画出地图是不可能的。于是就产 生了关于寻求最精确的绘制方法的问题，在数学上则表现为对曲面的一般理 论和分析学的一般方法的探求。￠p,o?m_o\z/h-a′i·.?c~o^m.

在《论曲面的一般研究》中，高斯从曲面方程x＝x（u、v），y＝y（u、 v），z＝z（u、v）着手，对曲面作了系统的研究，他给出了任何曲面弧长元 素的微分表达式，即所谓高斯第一基本二次形式 （ds2＝dx2+dy2+dz2）；曲 面上两条曲线之间的夹角公式；以及曲面上任意点处的曲率的定义及计算方 法。一个重要的结果是：高斯发现，曲率仅仅是参数u、v的一个函数，它与 曲面是否在三维空间中或曲面在三维空间中的形态完全无关，这就等于指 出，如果一张曲面能展开成另一张曲面，那么曲面上任意一点的曲率是不变 的；如果建两张一一对应的曲面，那么在对应点上必然有相同的总曲率，必 然有相同的几何。因此，对曲面上几何的研究完全可以集中在曲面本身上进 行，无须把曲面作为三维欧氏空间中的图形来对待。这就是高斯开创的内蕴 几何。

内蕴几何不仅大大地改变了人们对曲面的认识，为微分几何开辟了一个 广阔的研究领域，而且把空间的数学概念大大地推广了，使它在现代物理学 中占有非常重要的地位。,墈.书￠屋¨晓+说′王~ ¨追^嶵-辛￠漳!洁-微分几何虽然不是高斯开创的，但是，由于高斯的 工作奠定了现代微分几何的发展基础，并指出了它的发展方向。19世纪微分 几何也正是在高斯的基础上，由高斯的学生黎曼 （1826—1866），以及黎曼 的追随者贝尔特拉米（1835—1899）、李普希兹（1832—1903）等人发展起 来的。

七、从事物理学研究

19世纪初，在著名的探险家、科学家洪堡（1769—1859）的倡议和引导 下，欧洲许多国家掀起了地磁观测的热潮。地磁观测即是用专门仪器测定各 地磁场强弱和方向的变化规律及其异常的观测。洪堡是高斯的朋友，1804 年，他从南美探险归来后，成立了“地磁观测协会”，并就任理事长。洪堡 想吸引高斯研究地磁学，他将丰富的地磁观测资料带给高斯看，高斯对此十 分感兴趣。但是，由于当时高斯正从事天文学研究，因此，没有更多的精力 从事地磁学的研究。洪堡并不罢休，1828年他再次拜访高斯，并且带去了更 为丰富的资料。洪堡告诉高斯，现在的问题已经不是资料不足而是如何对资 料进行科学的处理。他希望高斯从事地磁学研究。这时，高斯已基本结束了 大地测量工作，有充分的时间来做这方面的工作。恰巧，那一年，一个比利 时物理学家表示愿意协助高斯做地磁实验，这就促使高斯下决定从事这项工 作。不久，高斯即投入了对地磁学的研究。在不到两年的时间里，他解决了 怎样在地表任何一点测量地球磁场强度的问题，发明了磁强针，并撰写了《引 用绝对单位的地面磁压》一书。

1831年，德国青年物理学家韦伯（1804—1891）在高斯的推荐下，应聘 到哥廷根大学任物理教授。从此，两人紧密合作从事地磁学的理论和实验研 究工作。尽管他们两人的年龄相差27岁，但却合作得非常出色。韦伯是个实 验家，高斯则是以理论见长的科学家，由韦伯通过实验得出的结果，高斯通 过理论阐述常常变得更为深刻而又清晰。高斯通过理论分析得出结论：“磁 场是从地球实体内产生的。”它不仅定出了磁场成因的范围，而且正