2　　　　　　　　　　　　　　　1

所以说置换 （1 2 3……n）

-k　　　　　 n

将r之值变为ρ rk。+飕¨嗖*晓`税.旺? ,已/发·布-最/歆.璋~結`又因P＝1，故

k

n　　　 -k　n

（r）＝（ρr），

k　　　　　　 k

n

所以置换 （1 2……n3）不变更r的值。同理，群中其它置换也不改

k

n 变r的值。这就是说，所有r的值都可由根式得到。由③，可将x用ρ与r

k 表示，则方程式③可用根式解。这样，就证明了：如果方程式在一个数域中 的群是元素个数为质数巡回正置换群，则此方程式一定能用根式解。

举例来说，方程式

3

x-3x+1＝0

在有理数域中的群是 1，（1 2 3），（1 3 2）。它是一个元素个数为 质数的巡回正置换群，所以可从x+x+x＝0，

1 2 3

2

x+ωx+ωx=r，

1　　2　　 3 1

2

x+ωx+ωx＝r，

1　　 2　　3　2

这三个一次方程式中解它。_优\品~晓·说+蛧? `首,发￠此处ω表示1的一个虚立方根，r与r可以

1　　2 由数域中的数的根数得出。换句话说，如果把这种根数加入到数域中，则x 都存在于扩大的数域中。

在一般情况下，常可以

2　　　　　　2　　　　　2　　　　　　　　2

y=（x－x） （x－x）……（x -x）作第一个辅助方程式，其右

1　2　　　　1　3　　　　　　n-1n 端是所有每两个根之差的平方之积。假如方程式的第一项系数是1的话，那 么，上式右端则是方程式的“判别式”。例如二次方程式

2

x＋bx＋c＝0

的两个根x，x的差的平方是

1　2

2　　　　　 2　　　　　 2

（x-x）＝（x+x）－4xx＝b－4c，这恰是方程式的判别式。-小¨税￠C/M*S* /最?薪?璋,踕^庚_鑫!哙^同样，

1 2　　　　 1 2　　　　 12 高次方程式的判别式也可从系数求得。

再设所要解的方程式是一般的三次方程式，将第一个辅助方程式的根加 入原数域后，方程的群为H，即一个元数为质数的巡回正置换群。这样，可 利用

x+x+x=-b，

1 2 3

2　　　　　　 2

x+ωx+ωx=r，x+ωx+ωx＝r，

1　　2　　 3 1　1　　　　2　　 3　2

这三个一次方程式来解原三次方程式。其中r，r可由数域中数的根数

1　2 求得。x，x，x存在于这个最后经r，r的加入而扩大成的数域中。

1　　2　3　　　　　　　　　　　1　2

这样就证明了：方程式在一个由其系数与1之n个n次根而决定的数域 中的群若是一个可解群，则此方程式是可以用根式解的。

伽罗瓦的群论，是解决数学问题的重要工具，它对于数学就如同语言对 于人的重要性一样。正像人们评价的，“无论在什么地方，只要能应用群论， 就能从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐”。“群的概念是近世纪科学 思想出色的新工具之一”。

中外科学家发明家丛书：伽莫夫

伽莫夫是本世纪著名的物理学家，他在理论物理学、天体物理学、核物 理学、生物遗传学等诸多领域都取得了令人瞩目的成就。同时，他还是一位 出色的科普作家，由于在普及物理学、天文学和其他自然科学方面作出的贡 献，他荣获了联合国教科文组织授予的卡林伽奖。

伽莫夫在他的研究中常常能够连续多年致力于某些难题，进行反复研 究。他所具有的那种洞悉物理学理论各种模型之间类似关系的能力，几乎达 到不可思议的程度。在当今这个数学运用越来越复杂的时代，伽莫夫仅仅运 用直观的图画，以及运用由历史