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第565章完结

3

(1 2)=(31 2) (31 2)(13 2)=13

此群中的元素都是(1 2)的乘幂。`我¨得¢书′城^ ?追+醉-芯,璋·洁?这种群,称为3     “巡回群”。

在一个置换群中,若每个文字都有一个而且只有一个置换将这文字换成 其他某个文字,则这个群称为“正置换群”。例如群

1,(1 2),(31),

在 1中 x,变成x,在(1 2)中x3变成x,在(1 )中32x

1    1           1    2          1 变成x……所以这是一个“巡回正置换群”。

3

4.一个方程式的群

对于一个一定的数域,每个方程式都有一个群。譬如三次方程式

3   2

ax+bx+cx+d=0,

假定它的三个根x,x,x是相异的。任意取一个这三个根的函数,如

1 2 3

xx+x

12 3

在这个函数中,若把这些x互相替换,那么,会有六种置换。!如^蚊,惘? !免`废/岳?独.(1 2)一 类的置换为 xx+x;( 1 )为3 xx+x;( 12)为3xx+x。此

21 3          32 1          23 1 外,还有不动置换。也就是说共有:

1,(1 ),2(1 ),3(2 ),3(1 2)(13 3)六个置换,2 即对于这三个x,一共有3!(表示3×2×1)种可能的置换。一般说,n! 表示n(n-1(n-2)……1,所以n个x有n!种置换。于是,伽罗瓦得出 结论,在函数v=mx+mx=mx+……mnxn中,当x作各种可能的置换时,

1 11 22 33 这函数就有n!个不同的值,用v,v,v,……vn!表示这些不同的值,

1 2 3 可作出式子P(y)=(Y-v)(Y-v)……(Y-vn!),其中Y是一个变数。

1    2

将P(y)的各因子乘出来,就得到一个Y的多项式。假设P(y)在某一 数域中分解因数,包含v而在此数域中为不可约的部分是(Y-v)(Y- v)

1                    1     2 或 Y-(v+v)Y+vv在这部分中所含的v仅有vv。^纨~夲*榊+戦, *追+醉/芯-章¨截\则将v,v互相

2   1 2     12              12     1 2 交换的x的置换成一群,这个群叫“方程式在这数域中的群”。

一般地说,一个方程式在一定数域中的群是由P(Y)中包含v的不可约

1 部分而决定的。将这个不可约部分记作G(y),则G(y)=0,这称为“伽 罗瓦分解式”。

在一个数域中将一个式子分解因数,到了不能再分解时,若将数域扩大, 可以继续分解下去。但扩大数域的结果是使方程的群变小。

明白什么是方程式在一个数域中的群,就可以去求它。例如二次方程式

X+3X+1= 0

2

有两个根x,x,可能的置换只有1和 (1 )两种。所以2      它的群或者

1 2 含有这两个置换或者只有1这一个。而这要看是在什么数域中了。

以函数x-x为例,二次方程式

1 2

2

x+bx+c= 0

的两根之差是

x - x = b2 - 4c

1  2

在此例中,规定b=3,c=1,则

x -x = 5

1  2

如果所讨论的数域是有理数域,那么,这个函数的值不在数域中,所以 群中必有一个置换能变更此函数的值,这就是( 1 )置换。则此方程式在2 有理数域中的群是由

1,( 1 )2

两个置换作成的。但如果讨论的数域是实数域,那么,在此数域中,所 以群中一切置换都不改变函数x-x的值,所以(1 )不能在群中。此方2

1 2 程

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