3

（1　2）=（31　2） （31　2）（13 2）=13

此群中的元素都是（1　2）的乘幂。`我¨得￠书′城^ ?追+醉-芯,璋·洁?这种群，称为3　　　　 “巡回群”。

在一个置换群中，若每个文字都有一个而且只有一个置换将这文字换成 其他某个文字，则这个群称为“正置换群”。例如群

1，（1　2），（31），

在 1中 x，变成x，在（1　2）中x3变成x，在（1　）中32x

1　　　　1　　　　　　　　　　 1　　　 2　　　　　　　　　 1 变成x……所以这是一个“巡回正置换群”。

3

4．一个方程式的群

对于一个一定的数域，每个方程式都有一个群。譬如三次方程式

3　　 2

ax＋bx＋cx＋d＝0，

假定它的三个根x，x，x是相异的。任意取一个这三个根的函数，如

1　2　3

xx＋x

12　3

在这个函数中，若把这些x互相替换，那么，会有六种置换。!如^蚊,惘? !免`废/岳?独.（1 2）一 类的置换为 xx＋x；（ 1 ）为3 xx＋x；（ 12）为3xx＋x。此

21　3　　　　　　　　　 32　1　　　　　　　　　　23　1 外，还有不动置换。也就是说共有：

1，（1 ），2（1 ），3（2 ），3（1　2）（13 3）六个置换，2 即对于这三个x，一共有3！（表示3×2×1）种可能的置换。一般说，n！ 表示n（n－1（n－2）……1，所以n个x有n！种置换。于是，伽罗瓦得出 结论，在函数v=mx+mx=mx+……mnxn中，当x作各种可能的置换时，

1 11 22 33 这函数就有n！个不同的值，用v，v，v，……vn！表示这些不同的值，

1　2　3 可作出式子P（y）=（Y-v）（Y-v）……（Y－vn！），其中Y是一个变数。

1　　　　2

将P（y）的各因子乘出来，就得到一个Y的多项式。假设P（y）在某一 数域中分解因数，包含v而在此数域中为不可约的部分是（Y－v）（Y－ v）

1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1　　　　　2 或 Y－（v＋v）Y＋vv在这部分中所含的v仅有vv。^纨~夲*榊+戦, *追+醉/芯-章¨截\则将v，v互相

2　　 1　2　　　　 12　　　　　　　　　　　　　　12　　　　　1　2 交换的x的置换成一群，这个群叫“方程式在这数域中的群”。

一般地说，一个方程式在一定数域中的群是由P（Y）中包含v的不可约

1 部分而决定的。将这个不可约部分记作G（y），则G（y）＝0，这称为“伽 罗瓦分解式”。

在一个数域中将一个式子分解因数，到了不能再分解时，若将数域扩大， 可以继续分解下去。但扩大数域的结果是使方程的群变小。

明白什么是方程式在一个数域中的群，就可以去求它。例如二次方程式

X＋3X＋1= 0

2

有两个根x，x，可能的置换只有1和 （1 ）两种。所以2　　　　　 它的群或者

1　2 含有这两个置换或者只有1这一个。而这要看是在什么数域中了。

以函数x－x为例，二次方程式

1　2

2

x＋bx＋c＝ 0

的两根之差是

x　- x ＝ b2 - 4c

1　 2

在此例中，规定b＝3，c＝1，则

x －x　＝ 5

1　　2

如果所讨论的数域是有理数域，那么，这个函数的值不在数域中，所以 群中必有一个置换能变更此函数的值，这就是（ 1 ）置换。则此方程式在2 有理数域中的群是由

1，（ 1 ）2

两个置换作成的。但如果讨论的数域是实数域，那么，在此数域中，所 以群中一切置换都不改变函数x-x的值，所以（1 ）不能在群中。此方2

1 2 程